Maestría
Área de Concentración: Matemática Aplicada
Álgebra (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Grupos y subgrupos; grupos cíclicos; Teorema de Lagrange; sub grupos normales y grupos cocientes; el homomorfismo y el isomorfismo de grupos; grupos de permutaciones; Teorema de Sylow; grupos abelianos finitamente generados; grupos solubles; anillos y cuerpos; ideales maximales e ideales primos; el homomorfismo y el isomorfismo de los anillos; dominios de factorización única; los ámbitos euclidianos; anillos de polinomios en una y en varias indeterminadas.
Álgebra Conmutativa (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Anillos e ideales; módulos; módulos finamente generados; homeomorfismo de módulos; secuencias exactas; producto tensional; anillos y módulos de fracciones; descomposición primaria; dependencia integral; anillos noetherianos; ámbitos de dedekind; dimensión de Krull.
Álgebra Lineal (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Transformaciones lineales; espacios dobles y bidones; espacios con producto interno; teoría de la descomposición primaria; Teorema Espectral; formas cuadráticas; las formas racionales y de Jordan; formas bilineales.
Análisis de Series Temporales (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Conceptos básicos: procesos estocásticos y series temporales, estacionalidad, función de auto-covariancia y espectro; procesos ARMA estacionarios: los modelos autoregresivos, de promedios móviles, y mixtos discretos; modelos ARIMA, el modelo lineal general y modelos armónicos; análisis espectral: series de Fourier, análisis de funciones periódicas y no periódicas, representación espectral de procesos estacionarios, espectro mixto y filtros lineales; en el dominio del tiempo: estimación del promedio y de la función de auto-covarianza, identificación, estimación y previsión de parámetros de modelos ARIMA; Estimación en el dominio de la frecuencia: la transformada de Fourier finita y período grama, estimadores suavizados.
Análisis funcional (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Espacios vectoriales topológicos; espacio de Banach; Teoremas de Hahn-Banach; y el Teorema de Baire; el Teorema de Banach-Steinhauss; Teorema de la Aplicación Abierta y Teorema del Gráfico Cerrado; topologías débil y débil; Teorema de Alaoglu-Banach; espacios reflexivos; espacios de Hilbert; operadores adjuntos; operadores compactos; el Teorema Espectral para operadores auto adjuntos compactos.
Análisis Multivariada (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Distribución normal multivariada; pruebas de hipótesis para el vector de promedios; el análisis de varianza multivariada a uno y dos factores; pruebas de hipótesis sobre matrices de covariancias; análisis de componentes principales; análisis factorial; análisis de conglomerados; análisis discriminante; análisis de correspondencia, análisis canónico; escalonamiento multidimensional.
Anillos y Módulos (4 créditos, 60 horas)
Ejercicio: Anillos. Ideales. Anillos cocientes. Homomorfismo de anillos. Módulos. Sub-módulos. Módulos cocientes. Homomorfismo de módulos. Producto directo de módulos. Suma directa externa de módulos. Sonda directa interna de módulos. Proyecciones. Secuencias exactas. Suma directa y secuencias exactas. Módulos finitamente generados. Módulos libres. Módulos sobre dominios principales. Módulos sobre dominio de integridad. Módulos de torsión. Teorema de estructura (teorema de los divisores elementales). Módulos proyectores y módulos de inyección.
Cálculo Avanzado (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Topología del RN; derivadas parciales y direccionales; derivadas como transformación lineal; regla de la cadena; las clases de diferenciabilidad; la fórmula de Taylor; Teorema de la función inversa; Teorema de la Función implícita; multiplicadores de Lagrange; integrales múltiples; conjuntos de medida nula; integrales iteradas; El teorema de Fubini; cambio de variable en integrales múltiples; integral de línea; el Teorema de Green.
Computación Gráfica (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Historia y aplicaciones de la computación gráfica. Geometría y computación gráfica. Espacios del color. Recorte. Paquetes gráficos. Algoritmos de líneas y superficies ocultas. Rasterización de imágenes. Relleno de polígonos. Tonalización de las imágenes: Flat, Gouraud, Phong. Técnicas de modelado: visión introductoria del área.
Curso de Lectura (2 créditos, 30 horas)
Deconvolución e Inversión (4 créditos, 60 horas)
Contenido: El método de HWB. Los problemas directos e inversos: reflexión, refracción, AVO, tomografía. Descripción de datos y el Teorema de la Descomposición. Procesos determinísticos. Procesos estocásticos. El Teorema de Bayes en la inversión. El problema inverso lineal. El problema inverso no lineal. Parametrización. Función objeto de minimización y el hiperespacio. Linealización. Regularización. Métodos del primer orden. Métodos del segundo orden. Medidas de calidad y matrices de resolución. Deconvolución por los métodos de Wiener y Kalman. El pulso de fase mínima y la determinación de la señal de la fuente. Casos históricos.
Desarrollo de Disertación (6 créditos, 90horas)
Ejercicio: Escribir sobre el trabajo científico.
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Teoremas de Existencia; Teoremas de Existencia y Unicidad; El Teorema de Carathéodory; dependencia continua y diferenciable de los datos iniciales; ecuaciones lineales; exponencial de matrices; clasificación de los campos lineales; singularidades; linealización en torno a las singularidades; estabilidad de Liapunov; Teorema de Poincaré-Bendixon.
Ecuaciones Diferenciales Parciales (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Clasificación de ecuaciones de segundo orden en dos variables independientes; problemas de condiciones de contorno e iniciales. El método de separación de variables; las series de Fourier; convergencia de la serie de Fourier; aplicación de los problemas de conducción de calor en una barra y de la cuerda vibrante; serie de Fourier dobles; problemas de Dirichlet en un rectángulo; la transformada de Fourier; el espacio de Schwartz, distribuciones templadas.
Pasantía de Docencia (2 créditos, 30 horas)
Contenido: Auxilio en disciplinas de graduación ofrecido por las facultades de Matemática y Estadística. Ayuda a los alumnos con dificultades de aprendizaje. Resolución de ejercicios y actividades relacionadas.
Estadística Matemática (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Muestra aleatoria; modelos estadísticos; familia exponencial de distribuciones; estadísticas y estimadores; estadísticas suficientes; distribuciones muestrales; estimadores eficientes; estimadores de máxima verosimilitud; propiedades asintóticas; intervalos de confianza; pruebas de hipótesis; pruebas uniformemente más poderosas; prueba de razón de verosimilitud.
Fenómenos de Transporte (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Fundamentos de los fenómenos de transporte y de la termodinámica. Ecuaciones de conservación de masa, energía y cantidad de movimiento. Transporte difusivo y convectivo de calor y masa. Flujo en medios permeables.
Geoestadística Aplicada (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Variabilidad espacial. Krigagem, Co-Krigagem. Incertidumbre espacial. Simulaciones geoestadísticas.
Geometría Computacional (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Complejidad computacional. Algoritmos geométricos básicos (ángulos, distancias, posiciones relativas, orientación). Cierre convexo en dos y tres dimensiones. Triangulaciones. Diagrama de Voronoi y triangulación de Delaunay. Problemas de búsqueda y localización. Intervención y visibilidad.
Geometría Diferencial (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Curvas en el espacio: teoría local de las curvas parametrizadas por la longitud de arco; fórmulas de Frenet; Teorema Fundamental de las Curvas en el Espacio; la forma canónica local; propiedades globales de las curvas planas; las superficies regulares del R3, la aplicación normal de Gauss y sus propiedades fundamentales; las curvas principales. Gaussiana y media; superficies reguladas y superficies mínimas; el Teorema Egregium de Gauss; la aplicación exponencial; superficies completas y Teorema de Hopf-Rinow, primera y segunda variaciones del cumplimiento de arco; el Teorema de Gauss-Bonet.
Inferencia Bayesiana
Contenido: Distribuciones a priori. Distribuciones a posteriori. Estimadores puntuales. Intervalos de credibilidad. Métodos computacionales.
Introducción al Modelado Geométrico (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Visión general del área de modelado. Conceptos y herramientas básicas. Representación de curvas. Representación de superficies. Representación de sólidos.
Introducción a la Teoría de las Matroides (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Definición de Matroides; conjuntos independientes; circuitos; base; puesto; la dualidad; menores de edad; conectividad; matroides gráficas; matroides representables.
Introducción a la Teoría de los Grafos (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Definición de grafos; caminos; ciclos; circuitos; conectividad; árboles; bosques; grafos planares; la dualidad; coloración de grafos; número cromático; flujos; algoritmo ambicioso.
Medida e Integración (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Medida de Lebesque en el RN; Lema de Fatou; Teorema de la Convergencia Monótona; Teorema de la Convergencia Dominada; Espacio LP. El espacio L2. Teorema de Riesz-Fischer; bases; funciones absolutamente continuas; diferenciación en R; dualidad entre los espacios LP.
Métodos Numéricos de Diferencias Finitas (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Aproximación de derivadas por diferencias finitas. Métodos de diferencias finitas para ecuaciones ordinarias. Métodos de diferencias finitas para ecuaciones diferenciales parciales parabólicas, elípticas e hiperbólicas. Convergencia, consistencia y estabilidad.
Modelos de Regresión (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Modelo lineal general; método de los mínimos cuadrados; inferencia; familia exponencial de distribuciones; modelos lineales generalizados; por el método de máxima verosimilitud; pruebas de hipótesis; análisis de la desviación; modelos para respuestas binarias; modelos para tablas de contingencias; modelos para contar.
Modelos Lineales Generalizados (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Familia exponencial con un parámetro. Algoritmo de estimación. Deviance y estadística de Pearson X2 generalizada. Análisis de deviance y selección de modelos. Pruebas de hipótesis. Intervalos de confianza. Técnicas para la verificación de ajuste del modelo.
Probabilidad (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Experimento al azar; espacio de probabilidad, eventos; probabilidad condicional; variable aleatoria; principales distribuciones de probabilidad; función generadora de momentos; función característica; leyes débil y fuerte de los grandes números; Teorema Central del Límite.
Procesamiento, Señales e Imágenes (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Aspectos básicos de señales y sistemas discretos en el tiempo. Serie de Fourier discreta y transformada de Fourier discreta. Transformada de Hilbert discreta. Diagrama de flujo de filtros digitales. Representación matricial de filtros digitales. Técnicas de diseño de filtros digitales.
Procesos Estocásticos (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Introducción y fundamentos. Construcción de cadenas de Markov. Medidas invariantes. Pérdida de memoria y convergencia al equilibrio. Estudio de algunos procesos especiales; Poisson, Nacimiento y Muerte, ramificación, renovación, procesos Markovianos y Salto, procesos de difusión.
Programación Científica (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Introducción al Matlab. Conceptos básicos. Control de flujo. Medidas estadísticas. Soluciones de ecuaciones lineales. Interpolación y ajuste de curvas. Análisis polinómico. Problema de valor inicial para ecuaciones diferenciales ordinarias. Soluciones numéricas de sistemas de ecuaciones no lineales. Problemas con el valor de límite para las ecuaciones diferenciales ordinarias. Soluciones numéricas para ecuaciones diferenciales parciales. Diferencias finitas. Elementos finitos. Procesamiento de señales.
Seminario (2 créditos, 30 horas)
Contenido:
Teoría de la Respuesta al Item
Contenido: Teoría clásica de la medida. Introducción al trazado latente. Principales modelos acumulativos. Ejemplos de aplicaciones de TRI en diferentes áreas del conocimiento. Estimación de los parámetros de los elementos (calibración). Modelo dicotómico y un solo grupo. Estimación de las habilidades (traza latente). Construcción e interpretación de la escala de medida. Aplicaciones en solución de problemas prácticos y modelado científico a partir del análisis de artículos científicos de periódicos y anales de congresos. Simulación de datos e Implementación Computacional.
Teoría de Galois (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Extensiones de cuerpos; Extensiones finitas y extensiones algebraicas; Extensiones normales y extensiones separables; cuerpos de descomposición; grupos de Galois; Teorema Fundamental de Galois; los cuerpos ciclotómicos; cuerpos finitos; solubilidad por radicales; construcciones con regla y compás; extensiones trascendentes.
Teoría de los Puntos Críticos (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Introducción a la teoría de las distribuciones. Nociones sobre espacios de Sobolev. Teoremas de inmersiones de Sobolev. Definición de soluciones débiles para problemas elípticos. Existencia de solución débil para problemas lineales vía teorema de Lax-Milgran. Teoría espectral del operador Laplaciano. Teoremas del tipo Mini-max.
Temas en Estadística - Control Estadístico de la Calidad (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Herramientas básicas del control estadístico de la calidad. La estratificación. Hojas de verificación. Hoja de verificación para la distribución del proceso de producción. Hoja de verificación para elemento. Hoja de verificación para localización de defectos. Hoja de verificación de causas. Hoja de verificación de satisfacción del cliente. Diagrama de Ishikawa. Construcción del diagrama de Ishikawa. Ejercicios - Diagrama de Ishikawa. Gráfico de Pareto. Construcción del gráfico de Pareto. Análisis y utilización del gráfico de Pareto. Histograma. Construcción del histograma. Comparación del histograma con límites de especificación. Diagrama de correlación. Correlación positiva. Correlación negativa. Ausencia de correlación. Construcción del diagrama de correlación. Cálculo del coeficiente de correlación lineal. Visión general de los gráficos de control. Introducción. Algunas de las principales investigaciones que involucran gráficos de control. Principios de los gráficos de control. Gráfico de control en la práctica. Planificación de un gráfico de control. Beneficios de la utilización de los gráficos de control. Tipos de gráficos de control. Gráficos de control para variables. Introducción. Gráficos de control para monitorear la dispersión del proceso. Gráfico de la desviación estándar (gráfico S). Gráfico de la varianza (gráfico S2). Gráfico de la amplitud (gráfico R). Gráficos de control para monitorear el nivel del proceso. Gráfico de la media. Gráfico de Mediana. Índices de capacidad del proceso. Introducción. Índice Cp. Prueba de hipótesis y el índice Cp. índices Cpu, Cpl y Cpk. Principios de estimación en control estadístico de la calidad. Introducción. Propiedades de los estimadores. Estimando la dispersión del proceso. Estimando el nivel del proceso. Estimador de sigma basado en los Quartis aplicados al CEQ. Introducción. Qbar Aplicado a los Gráficos de Control para variables para monitorear la dispersión del proceso. Qbar aplicado al gráfico de la desviación estándar. Qbar aplicado al gráfico de la varianza. Qbar aplicado al gráfico de la amplitud. Qbar aplicado a los gráficos de control para variables para monitorear el nivel del proceso. Qbar aplicado al gráfico de la media. Qbar aplicado al Gráfico de la Mediana. Qbar aplicado a los índices de capacidad. Qbar aplicado al desarrollo de nuevas herramientas para el CEQ. Gráfico Qbar. Gráfico Q2. CCO y ARL para Gráficos de control tipo Shewhart. Error Tipo I y Error Tipo II. CCO y ARL para Gráficos de Control del Nivel y Dispersión. CCO y ARL para el gráfico de control de media. CCO y ARL para Gráfico de Control de la Mediana CCO y ARL para Gráfico de Control de la Varianza. CCO y ARL para el gráfico de control de desviación estándar. El gráfico de control de regresión. Introducción. Elementos del gráfico de control de regresión. Construyendo el Gráfico de Control de Regresión. Analizando el Gráfico de Control de Regresión. Gráficos de control multivariados (GCM). Gráficos T2 de Hotelling. El método de descomposición. Comparación con otros métodos de descomposición. Gráficos de control para atributos. Gráfico para fracción no conforme o Gráfico. Gráfico para el número de elementos no conformes o Gráfico np. Gráficos de Control p y np con tamaño variable de muestra. Gráfica de Control p y np con tamaño medio de muestra. Gráfico de control estandarizado p. Gráfico para Número de Defectos o Gráfico c. Gráfico para el número medio de defectos por unidad o gráfico u. Gráfico de control u con tamaño medio de muestra. Gráfico de control estandarizado u. Gráficos de control para medidas individuales. Gráfico de Control para amplitud móvil o Gráfico MR. Gráfico de Control para observaciones individuales o Gráfico x 12 Gráficos de Control para pequeños cambios en el proceso. Gráfico de control CUSUM. Gráfico de CUSUM Tabular. Gráfico de control EWMA.
Temas especiales: cálculo variable (4 créditos, 60 horas)
Ementa: n-ésima variación. Condición necesaria para extremo local. Ecuación de Euler-Lagrange. Condición suficiente para extremo. Semicontinuidad y resultados de existencia. Regularidad de los puntos críticos. Teorema de existencia de Weierstrass generalizado. Aplicaciones.
Temas Especiales de Álgebra (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Los álgebras sobre un cuerpo, constantes de estructura, ideales, álgebras no asociativas, álgebra de multiplicaciones, álgebra de derivaciones, álgebras de Bernstein, caracter de una álgebra, descomposición de Peirce, subespacios invariante, subespacios de dimensión invariante.
Temas Especiales de Análisis (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Teorema de unicidad. Método de energía. Estudio de problema de Tricomi. Introducción a la distribución de Schwartz y los espacios de Sobolev. Solución franca. Formulación variacional de los problemas de Dirichlet y Neumann. Nociones sobre Regularidad de soluciones débiles. Estudio de las soluciones débiles de las ecuaciones de onda y de la transferencia del calor, en el caso lineal. El método de aproximación de Galerkin.
Temas Especiales de Estadística (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Introducción y principales conceptos en Teoría de la Respuesta al Item; parámetros asociados a los modelos; estimadores clásicos y bayesianos para los parámetros; aspectos computacionales en la estimación.
Temas Especiales de Geometría Diferencial (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Temas avanzados y desarrollo reciente de Geometría Diferencial.
Temas Especiales de Matemática Aplicada (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Conceptos básicos. Problema de valor inicial para ecuaciones diferenciales ordinarias. Soluciones numéricas de sistemas de ecuaciones no lineales. Problemas con el valor de límite para las ecuaciones diferenciales ordinarias. Soluciones numéricas para ecuaciones diferenciales parciales. Diferencias finitas. Elementos finitos.
Temas Especiales de Probabilidad (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Introducción y principales conceptos en Teoría de la Percolación; densidad crítica en percolación regular; percolación orientada de sitios; los aspectos computacionales en la implementación de un simulador de percolación.
Temas especiales en Álgebra (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Álgebras sobre un cuerpo. Constantes de estructura. Ideales. Álgebras no asociativas. Álgebra de multiplicaciones. Álgebra de derivaciones. Algebra de Bernstein. Caracteres de un álgebra. Descomposición de Peirce. Subespacio invariante. Subespacios de dimensión invariante.
Temas especiales en ecuaciones diferenciales (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Noción de distribución de Schwartz y espacios de Sobolev. Dualidad. Normas equivalentes. Inmersiones de espacios de Sobolev. Método de Faedo-Galerkin. Ecuaciones parabólicas. Ecuaciones hiperbólicas.
Temas Especiales en Ecuaciones Diferenciales Parciales I (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Ecuaciones parabólicas: técnicas de resolución. Ecuaciones hiperbólicas: técnicas de resolución.
Temas Especiales en Ecuaciones Diferenciales Parciales II (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Sistema de ecuaciones de Navier-Stokes. Método de la monotonía. Método de la compacidad. Ecuación no lineal del telégrafo.
Temas Especiales en Estadística - Control Estadístico de Calidad (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Herramientas básicas del control estadístico de la calidad. Visión general de los gráficos de control. Gráficos de control para variables. Índices de capacidad del proceso. Principios de estimación en control estadístico de la calidad. Estimador de sigma basado en los Quartis Aplicados al CEQ. CCO y ARL para Gráficos de Control Tipo Shewhart. Gráfico de Control de Regresión. Gráficos de control multivariados (GCM). Gráficos de control para atributos. Gráficos de Control para medidas individuales y Gráficos de Control para pequeños cambios en el proceso.
Temas Especiales en Inferencia Bayesiana
Contenido: Distribuciones a priori. Distribuciones a posteriori. Estimadores puntuales. Intervalos de credibilidad. Métodos computacionales.
Temas Especiales en Redes Neuronales (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Introducción. Principios de neuro-computación y proceso de aprendizaje. Perceptron de una sola capa. Perceptrones de múltiples capas. Redes de función de base radial (RBF). Mapas auto-organizables.
Topología General (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Espacios métricos completos; complemento de un espacio métrico; Teorema de Baire; aproximaciones sucesivas; espacios topológicos; bases de una topología; espacios de funciones; espacios compactos; Teorema de Tychonov; Teorema de Ascoli; Teorema de Stone-Weierstrass; Topología Cociente; espacios normales; Teorema de Metrización de Urysohn; homotopy; el grupo fundamental; el homeomorfismo inducido; el grupo fundamental del círculo; índice de una curva cerrada; espacios de recubrimiento.
Visión Computacional e Imágenes Digitales (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Imágenes digitales. Dispositivos de visualización y adquisición de imágenes. Color. Transformaciones espaciales e interpolación en intensidad. Transformadas de imágenes. Mejora de las imágenes. Filtros. Segmentación de imágenes. Descriptores. Reconocimiento de patrones. Aplicaciones.